＞ADSLのモデムを使ってます。（ルータ機能がついてます）
だからそのモデムをなんで隠すのよ。正しいメーカ、型番、メーカサイトのURLを
出せば、一発で答えてくれる暇人がいるかもしれないだろ。以降は僅かな手がかりから、推定のみで書く。

＞ ping -c 1 `hostname` とやったらhost name lookup failure
hostnameに設定した名前がDNSで引けていない。これにはいくつか原因が
考えられる。まず、DNSクライアントとしての設定が適切でない場合。
/etc/resolv.confが無いというのはこれにあたる。次に、DNSクライアント
として適切でも、その名前がDNSに登録されていない場合もそうなる。
勿論、そんな名前は存在しないのだろう。
しかし、名前解決は/etc/hostsでもできる。お前はhostnameに設定したものを
ちゃんと書いているか？
＞rc.conf に　hostname=...は書いてありました。
じゃ分からん。

PCとルータのDHCPが成功しているか？ifconfig -a　として、IPアドレスが取得
できているか確認しろ。デフォルトルートがルータに向けられているかどうか、
netstat -rn で確認しろ。もっとも、お前に正しい確認は期待できないから、
出力をそのまま貼れ。

そのADSLモデム内蔵ルータがプロバイダからアドレスの取得を行って、
内向きにはDNS、DHCPサーバ、NATを提供するものか？
だったら、とりあえず手動でPCのネットワークインタフェースに手動でIPアドレス
を割りつけ、デフォルトルートをルータに向け、/etc/resolv.conf に
nameserver ルータのIPアドレス
とだけ書いてみろ。ちなみに、
ifconfig インタフェース名 inet 192.168.0.X netmask 255.255.255.0
でIPアドレスの設定
route add 0 ルータのIPアドレス
でデフォルトルートの設定はできる。いずれも、rootで行わなければならない。
「インタフェース名」=お前のレスでは全く分からん。ed0とか。「192.168.0.X」…Xは数字。他の機器と被らぬように。