書状のやり取りしてたとしても、それだけじゃ親密にも険悪にも判断できないよ。
特に大国同士は。

現代でも国交断絶になり大使館引き上げとかになっても、第三国で情報のパイプは繋いでおくもんだ。
子供の喧嘩じゃないんだから、仲違いして一切口をきかないなんてありえんよ。
交戦状態でなければ、儀礼的な意味でも書状のやり取りくらいするさ。

むしろこの場合は、書状の相手方が家康でなく秀忠であることに意味があるだろ。
仲良くなくても、少なくとも中立であれば、同じ大老同士なんだから、互いにやり取りしていいはず。
それがそうではなく、正式なトップである家康でなく、サブの秀忠であることの意味。
今で言えば、他国の大統領が総理大臣とやり取りせず、事務レベルと折衝してるようなもの。
これがどういう意味かわかるだろ。