黄チャートの例題５０で分からないコトがあるのでどなたか教えて下さいｍ(＿ ＿；)ｍ


問題
ｎを２以上の整数とするとき、ｘ＾ｎ－１を（ｘ－１）＾２で割ったときの余りを求めよ。

解答
ｘ＾ｎ－１を２次式（ｘ－１）＾２で割ったときの商をＱ（ｘ）、余りをａｘ＋ｂとすると、次の等式が成り立つ。
ｘ＾ｎ－１＝（ｘ－１）＾２・Ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ　　　・・・①
この等式の両辺にｘ＝１を代入すると
０＝ａ＋ｂ　　　よって　　　ｂ＝－ａ
ゆえに　　　ｘ＾ｎ－１＝（ｘ－１）＾２・Ｑ（ｘ）＋ａｘ－ａ　　　以下、略

分からないのは、①の式は恒等式ですよね？
なぜ、恒等式においてｘ＝１の時に成り立つからといって文字を置き換えることができちゃうのですか？
ｘ＝２や３の時も同じように成立するわけではないですよね？