>>134
f(x)は上に凸だから
S(t)=∫[a,b]{f'(t)(x-t)+f(t)-f(x)}dx
　　=[f'(t)(x-t)^2/2+f(t)x-F(x)][a,b](f(x)の不定積分の一つをF(x)とする)
　　=・・・=(b-a)(f'(t)(a+b-2t)/2+f(t))-F(b)+F(a)
b-a≧0より
g(t)=f'(t)(a+b-2t)/2+f(t)とおくとg(t)が最小のときS(t)も最小.
g'(t)=(f''(t)(a+b-2t)-2f'(t))/2+f'(t)=f''(t)(a+b-2t)
f''(t)<0よりg(t)はt=(a+b)/2で最小.
∴求めるtの値は(a+b)/2

はみだしけずりでも出来るかもしれないけど得意じゃないので普通に積分してみた。
変数と定数を区別するのが大事かな。