もう１週間も悩んでいるのに解決せず、ぜひ皆さんのお知恵を
かしてください。

テキストの処理で、数千kBほどのテキストファイルをスクリプト
で処理したいと思っています。環境はCENTOS6.5(i686,32ビット)
で、シェルはBASHです。

シェルスクリプトの最初の方で得られた変数があり、これは動的に変化
します。
START="`grep start`"（←実際はgrepのあとにも処理あり）
END="`grep end`"
二つには行番号が入っており、これをsedのアドレスの指定に使って
START行からEND行までを削除させたいのです。この段階でデバグ
のため、START、ENDともスクリプト途中にechoで表示させて値が
きちんと入っているのを確認しています。

具体的には
sed -e "$START,$ENDd" /dir/file
を実行させても、sedは「,」が未知のコマンドです、と言ってき
ます。
sed -e "${START},${END}d" /dir/file
でも
sed -e '"${START}","${END}"d' /dir/file
でも駄目でした。sedが$を最終行と勘違いしているのかと
sed -e "\$START,\$ENDd" /dir/file
としてみても、これも駄目でした。

そもそも、sedのパラメータには変数は使えないのでしょうか？
同じ事がスクリプト中でできれば、sedでなくても構いませんが。
他におもいつきません。
ネットを検索すると、sedの置換（sed 's/$A/$B/'とか）ではそ
ういう例もあるようですが。よろしくお願いします。