>>383-384
ログインシェルを zsh にしてみましたが同じでした。
説明不足で申し訳ありませんが ~/.bashrc にもPATHは設定してます。

>>386
それは不正ではないんじゃないですか？

>>388
~/.screenrc に setenv PATH "$HOME/bin:$PATH"
を追加したら screen hoge を実行できるようになりました。

あるいは、ショートカットを mintty.exe -e bash -i -c screen -xRR
とすることでも screen hoge を実行できるようになりました(-i なしじゃダメ)。
この場合 bash のプロセスは残らないんですがどこ行ったんでしょ？

ともかく原因と対処法はわかりましたのでありがとうございました。