一般ユーザーディレクトリにbackup.shを移し、一般ユーザー権限で
/bin/sh /home/ユーザーdir/適当なフォルダ/backup.sh

を実行しましたが、変わらずです。
backup.shのパーミッションは0755。

CRONでもコマンドライン上でも、シェルスクリプト経由でFTPを通すとエラーが出るようです。
一般ユーザー権限でも、対話式なら問題ありません。