使用しているブロードバンドルータは一応DNSとして機能します。
Vineでのnslookup実行例
# nslookup
Default Server: modemnv-xxxxxx
Address: 192.168.0.1

> www.sun.com
Server: modemnv-xxxxxx
Address: 192.168.0.1

Non-authoritative answer:
Name: www.sun.com
Address: 64.124.xxx.xxx

>>72さんの方法で
/etc/resolv.confでISPのDNSサーバを指定してためしてみましたが、
最初と同じ結果（*** Can't find server name for 〜）でした。

>>78
書き込むときのタイプミスです

自分では、やはりネットワーク設定やNIC・ケーブルの不具合の問題では無くて、
ハードウェアの組み合わせかなんかでうまくいかないのではないか
と思うので、なにか情報が無いか調べて見ます。