だからなんでテンプレ使わないんだよ
そんなに難しいことなのかテンプレ使うのは
メニューからヘルプ→質問テンプレって選ぶだけでいいんだぞ

勝手にOSはWindows7でLive2chが1.37でIEが11で
表示されるエラーメッセージが
「接続エラーでAPI認証に失敗しました」だと想定して説明するぞ

そうならAPIサーバーへの接続自体の失敗だよ
たとえばIEが「オフラインモード」に設定されてたり
たとえばIEに串が設定されてたり
たとえばIEの詳細設定で「TLS1.0を使用する」のチェックが外れてたりすることが考えられる
IEの設定のリセットして上記設定確認してみろ
もしそれでもだめならルート証明書の更新だな

当然だがAPI鯖は生きてる
俺は再起動しようがステータスバークリックで手動再認証しようが一瞬でAPI-ONになる