鳥居さんは単純に元康(元信)の元
から一字貰ったんじゃね？

元康が家康に改名したのに敵対しようとする今川の名前持ってるとかナシでしょう。
諱はコロコロ変えるのが結構ある時代に変更なく最後までこのままってのはつまり「それをかえるなんてとんでもない」ってことなんじゃないの？