ちなみに、[>>1]のやっていることは、極限を特定する一つの方法でしかない。
厳密に解くには、lim_{n→∞}(農{k=1}^{n}(9/10^k))を考察しないといけない。
先ず、limの中の式を変形しよう。
農{k=1}^{n}(9/10^k)=9/10*(1-1/10^n)/(1-1/10)=1-1/10^nである。
ここで、|1/10|<1であることに注意しよう。
lim_{n→∞}(1-1/10^n)=1-lim_{n→∞}(1/10^n)であり、
ε>0を任意に選ぶ。アルキメデスの原理より、1/ε<mなる自然数mが存在する。(アルキメデスの原理の証明は省略する。)
10^nはいくらでも大きくなるので、10^n>mなるnが存在する。
よって、十分大きい全てのnに対して|1/10^n|<εが成り立つ。
よって、lim_{n→∞}(1/10^n)=0