ブラウザを閉じたらセッションが終了するわけではありません。閉じようがずっと続くようにも出来ます。

セッションは、時間で消され　たり　します。
session.gc_maxlifetime　などが関係ありそうです。

また、それとは別にセッション時間を記録するのも、それでなにをしようと自由です。
そのときは、セッションを自分で消さなくちゃいけません。