再現可能なコードぐらい貼れ、どーせこうだろうが
$html = q{<a href="b"
id="a" class="Link88"};
$html =~ m!"(.*?)" class="Link88"!s;
$html =~ m!"(.*?)" class="Link88"!;

最短ってのはマッチし始めてからが最短になるんであって、グループ内に"を含まないなんてルールはない
つまり最初の"から class="Link88" ... の手前の"までがマッチするんだよ