> どうやらテキストファイルを読み込んでいないみたいで
> ページを開くたびに保存してある内容が消えてしまいます。

ここが誤りです。
最初にページを表示した際に、以下の流れになっています。
1. 26-33行目で、$POSTが空っぽのため、空っぽの$test配列が生成される。
2. 36行目で、空配列と文字列""を混同しているためif条件を通過してしまう。
3. 空っぽの$testを元に、空っぽのtxtファイルが作られてしまう。

とりあえず最小限で動かすには36行目を次のように書き換えればいいと思います。
if(isset($_POST['test'][0])){

しかし動くからといって満足せず、
ヒマを見つけて本を買うなりしてステップアップされることをおすすめします。

わたしの個人的な印象では、
この手の「サンプルコード」なるものを載せてるサイトの8割は初学者にはおすすめできません（苦笑）。