少なくとも手元の環境ではconnect失敗でundefが戻ってきて処理は続くので、
環境やバージョンに依存した何かかね? PrintErrorを0にしないと、warningは
でるけど。あるいは書いてないけどどこかでRaiseErrorを有効にしてるとか?

% perl -e 'use DBI; $dbh = DBI->connect("dbi:Pg:host=aaa", "user", "pass",); print "死んでない\n"; print "dbh ", defined $dbh? "= $dbh": "is undef", "\n";'
DBI connect('host=aaa','user',...) failed: could not translate host name "aaa" to address: Name or service not known
at -e line 1
死んでない
dbh is undef

% perl -e 'use DBI; $dbh = DBI->connect("dbi:Pg:host=aaa", "user", "pass", {PrintError=>0}); print "死んでない\n"; print "dbh ", defined $dbh? "= $dbh": "is undef", "\n";'
死んでない
dbh is undef