伊勢神宮へご即位のご報告に行かれるとき、天皇陛下と皇后陛下が別々の乗り物なのはおそらく神事や祭祀に関する行事の場合、男女が同席できないためではと思います。
即位の礼の時も別々の車でしたし、大嘗祭もそうでした。

それにしてもです、雅子さまの馬アレルギーは嘘っぽい。
少し長いですが、以下YouTube、5.07あたりに馬と触れ合うシーンがあります。
（始めの方にもにもオマーンから馬のプレゼント？らしきシーンも）

https://youtu.be/rbwlWSyz-b0