こんなのがヒットした
http://phasetr.blogspot.jp/2013/04/connes.html
2013年4月19日金曜日
数論と相転移に付随する自発的対称性の破れ：Connes 論文と新井論文の紹介

数論 (代数的整数論) での両側剰余類の話が出てきた. 私自身は使ったことないが, Connes の数論での相転移論文にも出てきたことを思い出した.
Hecke algebras, type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory
http://www.alainconnes.org/docs/bostconnesscan.pdf
という論文だが, 学生時代は学生時代できちんと読もうとして訳が分からず挫折した経緯があり, 結局あまり内容を把握していない.
時々 Twitter でネタにするので, この機会に軽く眺めてみようと思い, 自分用メモとして残しておく.

あと, 関係する話として新井先生の
Infinite dimensional analysis and analytic number theory
http://eprints3.math.sci.hokudai.ac.jp/637/
という話もある. 両方とも量子統計と数論の関係がテーマで, 分配関数が Riemann の ζ になる, という話.
新井先生の論文の方は直接的に Fock 空間と第 2 量子化作用素の話をしていて, 数学的にはこちらの方が簡単で読みやすい.
ただ, 基本的には全く違う話なので両方読み比べた方が楽しいだろう.

では Bost-Connes 論文のメモに入る. 念の為, 先に書いておくと, (量子) 統計や相転移の物理については田崎さんの本がいいだろう.
作用素環で相転移を扱うという場合, とりあえず量子統計のセッティングで話をする. 特に C∗ (または W∗) 力学系の話になる. そこで分配関数が ζ になる, という方向に持っていく.
以下略