従来の伝統的トポロジーだけでは解けなかった。それはいまでも、そうみたいだ
四色問題に同じ
いずれエレガントな解法（コンピュータを使った力づくの１０００近くの場合分けを調べ尽くす手法でなく）が、と言われた

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E4%BA%88%E6%83%B3
ほとんどの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしたのに対し、ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。
そのため、解の説明を求められてアメリカの壇上に立ったペレルマンの解説を聞いた数学者たちは、「まず、ポアンカレ予想を解かれたことに落胆し、
それがトポロジーではなく微分幾何学を使って解かれたことに落胆し、
そして、その解の解説がまったく理解できないことに落胆した」という[1]。なお、証明には熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場する。

2006年8月22日、スペインのマドリードで催された国際数学者会議の開会式においてペレルマンに対しフィールズ賞が授与された。ただし、本人はこれを辞退した。
2006年12月22日、アメリカの科学誌「サイエンス」で科学的成果の年間トップ10が発表され、その第1位に「ポアンカレ予想の解決」が選ばれた[2][3]。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%8C%96%E4%BA%88%E6%83%B3
この予想の解決に大きな役割を担ったのはリチャード・S・ハミルトンが導入したリッチフローという偏微分方程式である。
これはもともとハミルトンが熱伝導を記述するために考案したものだがシン＝トゥン・ヤウが幾何化予想解決につながると考えハミルトンに研究を促したもので、
19世紀の数学者グレゴリオ・リッチ＝クルバストロの名を冠するのは彼が自分の弟子のトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタと共に書いた論文で導入したことに由来する、リッチフローは以後数学のみならず物理学まで広く使われることになるテンソルの概念を基盤としている。

リッチフローは前述の通りもともと熱伝導を表すもので金融理論の有名な方程式であるブラック-ショールズ方程式とも近いものだが、ハミルトンとヤウのアイディアはこれを用いて多様体の曲率を表そうというものである。
しかし曲率は熱と比べて非常に複雑な対象である[3]。ハミルトンはどんな滑らかな多様体でもリッチフローを持つことを証明した。