偏微分方程式のスレだからそれに直接関係ある話題で応える

たとえばδ関数を考えることが出来たとする
このとき f(x,y)=∫∫δ(x-x')δ(y-y')f(x',y')dx'dy' とおけるから
e_xx+e_yy=δ(x)δ(y)
となるe(x,y)を与えられれば
u(x,y)=∫∫e(x-x',y-y')f(x',y')dx'dy'
を考えることで
u_xx+u_yy=∫∫(e_xx(x-x',y-y')+e_yy(x-x',y-y'))f(x',y')dx'dy'
=∫∫δ(x-x')δ(y-y')f(x',y')dx'dy'=f(x,y)
が成り立つ
よってe(x,y)さえ与えられればu_xx+u_yy=f(x,y)の解も与えられることになる

こんな感じで様々な定数係数の線形偏微分方程式を調べられることも
超関数が人気だったことの一つ