数学は、「数学的方法」により様々な対象を研究する学問である。
数学自身もひとつの対象だから、「数学的方法」により研究するこ
とができる。それを行うのが、数学基礎論である。対象としての数
学のどの側面を研究するかにより、数学基礎論は4つの分野に分か
れている。数学の証明の記号操作を研究する「証明論」。具体的な
手続きで構成される対象を研究する「帰納的関数論」。幾何学的構
造、代数的構造等の構造を研究する「模型論」。そして、数学的前
提を研究する「公理的集合論」。近年、数学世界が不完全であるこ
とが示され、 数学の前提と整合性がある仮説を付加することにより、
様々な数学世界を構成できることが知られている。「どの様な仮説
が数学の前提と整合するか？」、「数学の前提に、ある仮説を付加
したときどんな数学世界となるか？」といった研究がなされている。