>>919の俺の解答。間違ってても知らないよっと。
F(x)=f(x)-f(b),G(x)=g(x)-g(b)とおくとF(x),G(x)はa≦x≦bで増加関数でF(b)=G(b)=0

(与不等式)⇔(b-a)∫[a,b](F(x)+f(b)) (G(x)+g(b)) dx≧(∫[a,b](F(x)+f(b))dx )(∫[a,b](G(x)+g(b))dx)
⇔・・略・・⇔(b-a)∫[a,b]F(x)G(x)dx≧(∫[a,b]F(x)dx)(∫[a,b]G(x)dx)・・・(*)ゆえ
(*)を示せばよい。

h(b)=(b-a)∫[a,b]F(x)G(x)dx - (∫[a,b]F(x)dx)(∫[a,b]G(x)dx)とおくと

h'(b)=∫[a,b]F(x)G(x)dx+(b-a)F(b)G(b)-(F(b)∫[a,b]G(x)dx+G(b)∫[a,b]F(x)dx)
　　=∫[a,b]F(x)G(x)dx(∵∫[a,b]F(x)G(x)dx)
F(x),G(x)はa≦x≦bで増加関数でF(b)=G(b)=0よりa≦x≦bでF(x)≦0かつG(x)≦0
よって、a≦x≦bでF(x)G(x)≧0
ゆえに、h'(b)=∫[a,b]F(x)G(x)dx≧0で、h(b)は短調増加。
h(a)=0よりb≧aでh(b)≧0
よって(*)が示せた。