>>625
∫[0,1]√(1+x^2)dx

x+√(1+x^2)=tとおくと，
t：1→1+√2
x=(t^2-1)/(2t)
dt=〔1+{x/√(1+x^2)}〕dx　⇔　dx={(t-x)/t}dt

∴
∫[0,1]√(1+x^2)dx
=∫[1,1+√2]〔{(t-x)^2}/t〕dt
=∫[1,1+√2]{(t^4+2t^2+1)/(4t^3)}dt
=(1/4)∫[1,1+√2]{t+(2/t)+t^(-3)}dt
=(1/4)*[(1/2)t^2+2logt-(1/2)*(1/t^2)][1,1+√2]
={√2+log(1+√2)}/2・・・答

[置換積分の置き方]
√(a^2-x^2)　(a＞0)　ならば，x=asinθ
√(x^2+A)　(A＞0)　ならば，t=x+√(x^2+A)　もしくは，x=(√A)tanθ
f(sinθ)*cosθ　ならば，sinθ=t
f(cosθ)*sinθ　ならば，cosθ=t
三角関数でどうしようもないときには，
tan(θ/2)=t，sinθ=2t/(1+t^2)，cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)，dt/dθ=(1+t^2)/2

これくらいで大丈夫だと思う。はさみうちの定理を使うときの
不等式ってけっこうパターンがありますＹＯ・・。
sinxとcosxとlog(1+x)のマクローリン展開したものと面積系(1/x，1/x^2など)です。
1番頻出なのはx-(1/2)x^2＜log(1+x)＜xで，だいたいこれ使う問題が多いかも。