★☆★☆★数学の質問スレ part7★☆★☆★

**大学への名無しさん** · 02/11/09 05:04

　　　 , ― ﾉ）
　γ∞γ~　　＼　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　＜　わからない問題はここに書いてね♪
　ヽ　| |　l　 l |〃　 |　質問をする時にどこまで考えたのか書いてみたり、機種依存文字
　　｀ｗﾊ~　ｰノ）　　 |　（ローマ数字や丸付き数字など）を避けると答えて貰いやすくなるよ♪
　　 /　＼｀「　　　 |　業務連絡と関連リンクは>>2-4辺りを参照してね♪
　　　　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　／￣　￣ヽ
　 /　,,w━━━.､)　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ! .ｆw/f_」」_|_|_i_）　 |　四則演算・ルートは「(a+b-c)*d、√(ab)/(c+d)」、指数・ベクトルは「x^(n+1)、AB↑」
　ヽ|:::(6||f;j'　,fj'||) 　 |　数列の和や積分は「Σ[k=1～n]α(n)、∫[1≦x≦2]sin(x^2 + f(x))dx」という風に、
　∠|::i:!::|:|、_ワノ:i､＜　（「やじるし･しぐま･せきぶん･るーと･ぎりしゃ･きごう」等で変換可能）
　　.|::|< |::|ヽｰﾉ｀l:i;ヽ, |　特に括弧や空白をなるべく使って頂けると嬉しいですわ。
　 .ﾉ:ﾉ'　i:::l `只´|:|i)::）|　1+a/bとかは1+(a/b),(1+a)/bのどちらなのか解らなくて困りますわ。
　（::(:i　 |:::|ノ　） j:ｊ|:(　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

**高２ 受験突入** · 02/12/05 01:25

>>620
ジオソさん、こけこっこさん、ありがとうございます。
(1/n)があったのと形が似てたので、区分求積に釣られてしまいました。
と言うよりそれしか思い浮かびませんでした。

式は本当に分子がｋ分母がｎ＾2ですた。

**大学への名無しさん** · 02/12/05 03:00

青チャートⅠA例題183
1つのさいころを振って出た目の数だけ得点がもらえるゲームがある。
ただし,出た目が気に入らなければ1回だけ振り直すことが出来る。
このゲームでもらえる得点の期待値が最大値となるようにふるまったとき、その期待値は(ア)である。
同じルールで最高2回まで振り直すことが出来るとすると,このゲームの期待値は(イ)である。

解答)
ア…17/4
イ…14/3

…なのですが、イがよく理解できません。
どなたか丁寧な解説をお願い致します。

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/05 03:24

>>622
１回振り直せるときの期待値が17/4だから、
１回目に出た目が５または６ならそこで終了、４以下なら（まだあと１回振り直しが出来るので）振り直し。

１回だけ振れるときの期待値は7/2だから、２回目に出た目が４以上ならそこで終了、３以下なら（あと一回振れるので）振り直し。
期待値は
(5+6)*(1/6)←１回目で終わる分
+(4+5+6)*(2/3)*(1/6)←２回目で終わる分
+(1+2+3+4+5+6)*(2/3)*(1/2)*(1/6)←３回目で終わる分
=14/3

分かりにくければまた聞いてね。

**大学への名無しさん** · 02/12/05 03:31

「はさみうちの原理」ｖｓ「はさみうちの定理」
http://hasegawa.ac/utakata/24/24nisioka.html

**ジオソ・ダイクソ＠宅浪** · 02/12/05 06:38

>>620＝こけここﾀｿ
　Oh！補足ｻﾝｸｽ。

　そんなことより、ハサミウチするときの○＜与極限＜△　の○と△を探すのに苦労するﾊｽﾞなんだがな。
　ついでにこけここﾀｿに問題だぁ。

>>620のこけここﾀｿが途中まで求めた積分　　∫[0,1]√(1+x^2)dx 　　を求めよ。

　まぁ、普通は誘導がつくけれど、置換の方法を知っておいても損は無い。

**622** · 02/12/05 13:36

>>623
よく解りました。
丁寧な解説をどうもありがとう御座います。

**こけこっこ** ◆ZFABCDEYl. · 02/12/05 17:21

>>625
∫[0,1]√(1+x^2)dx

x+√(1+x^2)=tとおくと，
t：1→1+√2
x=(t^2-1)/(2t)
dt=〔1+{x/√(1+x^2)}〕dx　⇔　dx={(t-x)/t}dt

∴
∫[0,1]√(1+x^2)dx
=∫[1,1+√2]〔{(t-x)^2}/t〕dt
=∫[1,1+√2]{(t^4+2t^2+1)/(4t^3)}dt
=(1/4)∫[1,1+√2]{t+(2/t)+t^(-3)}dt
=(1/4)*[(1/2)t^2+2logt-(1/2)*(1/t^2)][1,1+√2]
={√2+log(1+√2)}/2・・・答

[置換積分の置き方]
√(a^2-x^2)　(a＞0)　ならば，x=asinθ
√(x^2+A)　(A＞0)　ならば，t=x+√(x^2+A)　もしくは，x=(√A)tanθ
f(sinθ)*cosθ　ならば，sinθ=t
f(cosθ)*sinθ　ならば，cosθ=t
三角関数でどうしようもないときには，
tan(θ/2)=t，sinθ=2t/(1+t^2)，cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)，dt/dθ=(1+t^2)/2

これくらいで大丈夫だと思う。はさみうちの定理を使うときの
不等式ってけっこうパターンがありますＹＯ・・。
sinxとcosxとlog(1+x)のマクローリン展開したものと面積系(1/x，1/x^2など)です。
1番頻出なのはx-(1/2)x^2＜log(1+x)＜xで，だいたいこれ使う問題が多いかも。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/05 18:04

なんで中３がマクローリン展開知ってるんだＹＯ！

**こけこっこ** ◆ZFABCDEYl. · 02/12/05 19:14

>>628
茶の発展項目に出てるＹＯ・・
ネットで少し調べたりしますた。
1対1ﾀﾝ，物理得意でしか？

**文系少女** · 02/12/05 20:46

次に示した10枚のカードがある。　
C E N T E R T E S T
これらのカードから、同時に三枚取り出すとき、

①三枚とも同じ文字である確率は、ア/イウである。
②三枚とも異なる文字である確率は、エオ/カキである。
③三枚を無作為に並べたとき、少なくとも二枚同じカードが並ぶ確率は、ク/ケである。

①→1/60　②→19/30　であってますか？
③が１を越えます。。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/05 20:57

>>629
物理は全然ダメ。物理入門読んだだけ。

>>630
①、②はたぶんＯＫ。③は明らかにダメ。

**大学への名無しさん** · 02/12/05 21:02

センター試験の問題が完答できません。
いつもカッコ１とか２はできるんですが、３番が解けなかったり、
ひどい時には最初からつまずいたり・・。
解けないというより考え方が思いつきません。
浪人覚悟でしょうか？
ちなみに毎回１・Ａ、２・Ｂ共に５０～６０くらいです。（８割欲しい）
何かいいアドヴァイスください

**こけこっこ** ◆ZFABCDEYl. · 02/12/05 21:45

>>630
(1)1/60　(2)19/30　(3)1/4

>>631
そうなの・・（´･ω･`）

**文系少女630** · 02/12/05 21:49

(ⅰ) 三枚同じ　　①より1/60
(ⅱ) 二枚同じ
　ア)ＣＮＲＳから一枚、Ｅから二枚
　　　ＣＮＲＳから一枚、Ｔから二枚　　２×(4Ｃ1*3Ｃ2*3Ｃ1)/10Ｃ3＝36/60
イ)Ｅから一枚、Ｔから二枚
　　　Ｔから一枚、Ｔから二枚２×(3Ｃ1*3Ｃ2*3Ｃ1)/10Ｃ3＝27/60

　　　　　よって、(1+36+27)/60＝64/60　

明らかにダメ。藁

**文系少女630** · 02/12/05 22:08

>>634
解説お願いしますm(__)m

**文系少女630** · 02/12/05 22:12

>>633ですた。

**大学への名無しさん** · 02/12/05 22:21

>>634
全部から1枚同じを引けばいい。
「少なくとも」が出てきたらこれで大抵いける。

**大学への名無しさん** · 02/12/05 22:28

と思ったけどこっちのほうが面倒くさいな。撤回。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/05 22:29

>>635
二枚同じカードが並ぶって続けて並ぶってことでいいの？

**文系少女630** · 02/12/05 22:31

一枚同じってすべて異なるってことでしょ？
②で、すべて異なるは19/30だから、
1-(19/30)＝21/30＝7/10　設問に合いませんが。汗。

つか、｢並べたとき｣てのが気になります。

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/05 22:35

(3C2*7C1/10C3)*(2/3)*2=28/120
かな。２枚だけ並ぶのは。

**大学への名無しさん** · 02/12/05 22:35

>>630
ていうか1番間違ってる気がする

**文系少女630** · 02/12/05 22:38

>>635
二枚同じカードが並ぶって続けて並ぶってことでいいの？

そうゆう意味のか！気付かなかった…

**大学への名無しさん** · 02/12/05 22:38

いや、合ってる。間違いまくりだ。鬱だ北朝鮮行こう

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/05 22:39

前に設問が付いてたのか。
(1-2/120-76/120)*(2/3)
で良いや。

**文系少女630** · 02/12/05 22:45

>>644
将軍様に宜しくﾏﾝｾｰ。

>>645
解説おながいします。

高三 · 02/12/05 22:53

質問ですが、河合のセンタプレの数Ⅱで三角関数のグラフを書き、周期などを求めるもんだいが
あったのですが、今いち、グラフが書けません。コツなどを教えてくれると助かります。
問題は５／２ｓｉｎ（２X＋ａ）のグラフでした。周期は３６０÷２で（答）１８０度です。

351 ：大学への名無しさん：02/12/03 22:42 ID:8FnP2VkC
>>349
それ、グラフ書かなくてもできたでしょう
俺はそこ間違えたけど。（１８０度を答えるところの意味が分からなかった）

352 ：大学への名無しさん：02/12/03 23:14 ID:uPt+fnjo
３５１＞そうです。上にもあるとおり基本周期（だっけ？）は式より３６０÷２で
１８０とわかるんです。グラフは２次試験などでも必須かなと思いまして(-_-)

俺のレスは３５２です。グラフの書き方よろしくおねがいします

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/05 22:54

>>646
２枚だけ同じ文字を選ぶ確率は　1-2/120-76/120

x2枚y1枚の並べ方は
xxy
xyx
yxxの３通り（3!/2!)
2枚並ぶのはxxy,yxxの2通り。

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/05 23:02

>>647
y=sinxのグラフを
x軸方向に1/2倍(y=sin2x)
↓x軸方向に-a/2平行移動(y=sin2(x+a/2))
↓y軸方向に5/2倍(y=(5/2)*sin2(x+a/2))

**文系少女630** · 02/12/05 23:21

2/120と76/120はどこからやってきたのでしょうか？

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/05 23:23

>>650
１番と２番から。約分しない方が計算し易いので・・・

**文系少女630** · 02/12/05 23:28

>>651
あ、そか。考えてみます。感謝！

**大学への名無しさん** · 02/12/05 23:56

■ｘの3次方程式ｘ＾3-bｘ＾2-(a＾2+ab-b)ｘ-(ab+b＾2)=0の一つの解は1
この方程式があいことなる3実解をもつ時のa、bの条件を求めよ。

■点(1.1)を通るどんな直線も、かならずy=aｘ＾2+bｘ+cのグラフと共有点をもつときの
a、b、cの関係は?
↑
(1.1)がy=aｘ＾2+bｘ+cのグラフ上の点の時で、a=1-b-cでいいのでしょうか?

■P+q+1≦0の時、ｘ＾2+pｘ+q=0は必ず実数解をもつことを示せ。
それが重解である時のP,Qを求めよ。
↑P=0、Q=0でいいでしょうか?

よろしくおねがいします。

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/06 00:20

>>653
一問目
x=1を代入してaかbを消去して、
与式を
(x-1)Q(x)=0と変形してQ(x)=0が１以外の２実解を持つ条件を調べればいけると思う。
計算はしてない・・・

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/06 00:25

２問目
(1,1)を通らなくても良いのでそれは駄目かな。
定直線x=1とは必ず共有点を持つので傾きmとしてy=m(x-1)+1とおける。
ax^2+bx+c=m(x-1)+1
がmの値に関わらず解を持つ条件を判別式で。

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/06 00:31

３問目
D=p^2-4q
≧p^2+4p+4(p+q+1≦0より-4q≧4p+4)
=(p+2)^2
≧0
D=0となるのは２つの等号がともに成立するときで
p+q+1=0 かつ p+2=0

**大学への名無しさん** · 02/12/06 01:23

p^2-4q
≧p^2+4p+4(p+q+1≦0
↑
この不等式の評価はどうしておもいついたのでしょうか?

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/06 01:29

>>657
思い付いたって云うか、qが一次で消しやすいから消してみたらそうなっただけ。

**大学への名無しさん** · 02/12/06 01:55

>>トゥリビアさん
丁寧に教えていただき、ありがとうございます。

**こけこっこ** ◆ZFABCDEYl. · 02/12/06 02:21

>>636
あんまり説明うまくできないけど・・(*´д｀*)

与えられた文字を
e1，e2，e3　(eグループ)
t1，t2，t3　(tグループ)
s，n，r，c　(その他グループ)
とわける。

(1)
(e1，e2，e3)または(t1，t2，t3)を選べばよい。
全体の選び方は10C3通り。
∴2/(10C3)=1/60・・・答

(2)
「eグループから1個+その他グループから2個」
「tグループから1個+その他グループから2個」
「eグループから1個+tグループから1個+その他グループから1個」
「その他グループから3個」
を選んだときが，3枚とも異なる文字になるので，求める確率は，
{(3C1)*(4C2)+(3C1)*(4C2)+(3C1)*(3C1)*(4C1)+(4C3)}/(10C3)=19/30・・・答

**こけこっこ** ◆ZFABCDEYl. · 02/12/06 02:24

続き

(3)
3枚を取り出して，この取り出した3枚のカードを1列に並べる並べ方は，10P3通り。

[1]2個ちょうど続けて同じ文字が並ぶとき

まず，3枚を取り出す段階で，「eグループから2個，それ以外から1個」or「tグループから2個，それ以外から1個」
となる必要がある。そして，取り出した3枚のカードを題意を満たすように並べる。
「eグループから2個，それ以外から1個」のときを例にあげて説明します。。
まず，このような取り出し方は，(3C2)*(7C1)通りあります。
で，取り出したeグループのカードを●1，●2，それ以外の1枚を○とすると，
同じ文字が並ぶ並べ方は
●1●2○，●2●1○，○●1●2，○●2●1の4通りあるのだから，{(3C2)*(7C1)}*4　通りです。
「tグループから2個，それ以外から1個」のときも同じなので，
結局は，2個ちょうど続けて同じ文字が並ぶときは，{(3C2)*(7C1)}*4*2=168通り。

[2]3個続けて同じ文字が並ぶとき

まず，3枚を取り出す段階で，「eグループから3個」or「tグループから3個」
となる必要がある。
「eグループから3個」のときを例にあげて説明。
まず，この取り出し方は1通り。
で，取り出したカードe1，e2，e3の並べ方は3!通り。
よって，1*3!通り。
tグループから3個取り出したときも同様なので，3!通り。
よって，この場合の並べ方は，3!*2=12通り。

求める確率は，(168+18)/(10P3)=1/4・・・答

よって，(168+12)/(10P3)=1/4・・・答

**こけこっこ** ◆ZFABCDEYl. · 02/12/06 02:28

最後の一行は消して・・。(ヽﾟд)

**大学への名無しさん** · 02/12/06 07:16

すいません、次の問題が分かりません

xの二次方程式x^2cosθ+2xsinθ+cosθ=0 (0≦θ≦2π)の解が
すべて正の数であるように、θの値の範囲を求めよ

お願いします

**ジオソ・ダイクソ＠宅浪** · 02/12/06 07:55

>>663
　んー、２次の係数が正か負かﾜｶﾗﾝもんなぁ。まぁ、問題文に「二次方程式」とあるからcosθ≠０　っつーことで割ってみますか。

【解答】ﾒﾝﾄﾞｲので　tan＝ｔ　と書く。両辺ｃで割ってx^2＋2tx＋１＝０　これの２解が正であればよい。ｆ（０）＝１＞０なので、そのためには軸＞０が必要十分で
　軸＝－ｔ＞０　⇔　ｔ＜０　⇔　π/2＜θ＜π　3π/2＜θ＜2π　　かな？

**663** · 02/12/06 08:02

>>664
ええと、判別式とかはいいんでしょうか？

**ジオソ・ダイクソ＠宅浪** · 02/12/06 08:09

>>665
　ウギャ

【訂正】↑と、判別式Ｄ/4＝t^2－１＞０　⇔　－１＜ｔ＜１　も加えてﾁｮ。

**663** · 02/12/06 08:16

解けました！
ありがとうございました
学校行かなきゃ・・・

**大学への名無しさん** · 02/12/06 08:28

>>666
二次方程式、解の存在する条件って判別式とか、軸とかの条件を全て含まなきゃ（かつと言うこと）駄目なんだっけ？

**大学への名無しさん** · 02/12/06 08:32

マジ教えて。

f(x)-f(0)≧x、f(0)=1という条件で、、f'(0)を求めろという問題で、
解答に
x＞0の時
{f(x)-f(0)}/x≧1
∴f'+(0)≧1
x＜0の時
{f(x)-f(0)}/x≦1
∴f'-(0)≦1
この様に書いてあるんですが、どうしてですか？
x＜0の時の不等号が分かりません。

**大学への名無しさん** · 02/12/06 09:35

>>663は解と係数の関係もイケるね。
もちろんθ＝π/2、3π/2のときを別に考えて。

**大学への名無しさん** · 02/12/06 11:46

>>669
∴f'+(0)≧1と∴f'-(0)≦1の部分間違ってないか？

>x＜0の時の不等号が分かりません
x<0で両辺割ったら不等号逆になるだろ。

**孝一（高１）** · 02/12/06 18:48

教科傍用オリジナルからです。板所あたってるのでよろしくお願いします。

2円　ｘ^2＋ｙ^2=1、（ｘ+4）^2＋ｙ^2=1　の共通接線の方程式を求めよ。

**二次関数です** · 02/12/06 19:06

2点（－1，3）（1，－1）を通り、頂点がY=－X　上にある。という問題で、式をY＝a（X－b）の2乗－b と与える所まではわかるのですが、この先どうやって答えを導くのか分かりません。教えてください！

愛犬 ◆DOGWYiIzt2 · 02/12/06 19:25

すべての自然数ｎに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .
1*ｎ+2(ｎ-1)+…+ｎ*1≦1/6(ｎ+1)＾3-1/3

という問題の｢･｣はどういう意味なんでしょうか？
よろしくお願いします。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 19:27

>>672
ｘ^2＋ｙ^2=1上の点(ａ、ｂ)での接線はａｘ＋ｂｙ=1。これと（ｘ+4）^2＋ｙ^2=1が
接することを考えて、ａｘ＋ｂｙ－1＝０と(－４、０)で点と直線の距離の公式を
使う。あとはa^2+b^2=1が成り立つことを使うと(a、ｂ)が求まって、接線も
求まるんじゃないかな？計算はしてないけど。

>>673
Y＝a（X－b）の2乗－b に２点を代入。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 19:28

>>674
省略してるだけ。

愛犬 ◆DOGWYiIzt2 · 02/12/06 19:32

>>676
みえにくいかと思いますが、3の右肩についてるんです。

**673です** · 02/12/06 19:38

675さんへ代入して方程式で解いてももab=1 という答えで止まってしまいます。どうしたらa、b それぞれを導きだせるのですか？??(゜Q。)??

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 19:47

>>677
見えない・・・

>>678
解き方が悪いのかな。まずは、ａ＝・・・で解くといいよ。分母が０になるときに
注意して。

**大学への名無しさん** · 02/12/06 19:47

>>677
ﾜﾗﾀ

とでも言ってほしいのか(ﾟДﾟ)ｺﾞﾙｧ!!

愛犬 ◆DOGWYiIzt2 · 02/12/06 19:48

>>679
　･
3

こういう記号は存在してるんですか？

愛犬 ◆DOGWYiIzt2 · 02/12/06 19:51

河合の冬期講習の｢ハイレベル文系数学｣13ページにありますので、
もし持ってる方がいらっしゃったら見てみてください。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 19:52

>>681
見たことない。
・
x
で微分を表すことはあるけど。
>>674は「・」が無くても成り立ってそうだから、関係ないと思う。

愛犬 ◆DOGWYiIzt2 · 02/12/06 19:59

>>683
ありがとうございます。
今から早速証明してみます。
帰納法で大丈夫ですか？

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 20:06

>>684
大丈夫かな。たぶん。

**孝一（高１）** · 02/12/06 20:09

>１対１家庭教師(　´Д｀)y-~~ ◆AIv67RAb4A

ありがとうございます。感動しました。

**大学への名無しさん** · 02/12/06 20:17

678です、Y=a(X-b)の2乗－b に代入した式の続きを書いてもらってもいいですか？のみこみが悪くてよく理解出来ません面倒でしょうがよろしくお願いします

**大学への名無しさん** · 02/12/06 20:21

これもお願いします。

（１）2円ｘ^2+ｙ^2－4ax－2ay+20a－25=0, x^2+y^2=5　はａの値に関係なく常に2つの定点を
　　　通ることを示し、その座標を求めよ。
　　　（解答済み）　（３，４）　（５，６）

（２）（１）の2円　ｘ^2+ｙ^2－4ax－2ay+20a－25=0, x^2+y^2=5　が共有点を持つような
　　　定数ａの値の範囲を求めよ。

（２）（１）の2円　ｘ^2+ｙ^2－4ax－2ay+20a－25=0, x^2+y^2=5　が異なる2点で交わる時、
　　　　その2つの交点と点（２、－２）を通る直線の方程式を求めよ。

解き方だけでもどうかお願いします。

愛犬 ◆DOGWYiIzt2 · 02/12/06 20:31

>>685

ふつうにΣ計算したらできました…
俺もまだまだだなあ。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 20:42

>>687
３＝ａ(－１－ｂ)^２－ｂ・・・①
－１＝ａ(１－ｂ)^２－ｂ・・・②
②より
ｂ－１＝ａ(１－ｂ)^２
(ⅰ)ｂ≠１のとき
ａ＝１/(ｂ－１)
これを①に代入して計算すると・・・矛盾する。
(ⅱ)ｂ＝１のとき
②は成り立つ。①に代入すると、
３＝ａ(－１－１)^２－１
∴ａ＝１
かな？確認してみて。

**こけこっこ** ◆ZFABCDEYl. · 02/12/06 20:50

>>669
問題文の与えられた条件は，「f(x)-f(0)≧x，f(0)=1」のみ。
まず，f(x)の定義域がわからない。仮に-∞＜x＜∞が定義域であるとしても，
f(x)はx=0で連続であるかどうかわからない。当然ながら，f(x)はx=0で微分可能かどうかもわからない。
もし，f(x)が-∞＜x＜∞で微分可能な関数ならば，f'(0)=1になると思うけど，
例えば，-∞＜x＜∞，
f(x)=1(x=0)，
f(x)=x^2+2x+2(x≠0)，
で定義される関数f(x)は，条件を満たす関数だけどx=0で連続でないし，

f(x)=|x|+1　(-∞＜x＜∞)
で定義される関数f(x)は条件を満たし，かつx=0で連続であるけど，x=0で微分不可能
であるから，f'(0)は存在しない。
・・というわけで，この問題の解答を減点を免れるように記述するには
ここらへんを場合わけして記述する必要があると思います。
もし，f(x)が-∞＜x＜∞で微分可能なときには，平均値の定理で，
x＞0のとき，f(x)は，閉区間[0，x]で連続，開区間(0，x)で微分可能．
⇔{f(x)-f(0)}/(x-0)=f'(c)，0＜c＜x
⇔{f(x)-1}/x=f'(c)，0＜c＜xとなるcが存在する．
このとき，条件より，f'(c)≧1．・・・ア
x＜0のとき，f(x)は，閉区間[x，0]で連続，開区間(x，0)で微分可能なので，
{f(0)-f(x)}/(0-x)=f'(c')，x＜c'＜0　⇔　{f(x)-1}/x=f'(c')，x＜c'＜0
なるc'が存在する。このとき，条件より，f'(c')≦1．・・・イ

c→+0，c'→-0のときを考えて，ア，イより，
f'(0)=lim[x→+0]{f(x)-1}/x≧1
f'(0)=lim[x→-0]{f(x)-1}/x≦1
であるから，f'(0)=1　となると思う・・。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 20:59

>>688
(２)は円の中心と半径を使った式に変形して
(２円の中心の距離)≦(２円の半径の和)
(３)は２円の式を２乗の項が消えるように連立して(両辺引くだけ)出てくる
式が２交点を通る直線だから、その式に点（２、－２）を代入すると出てくる
と思う。(２)で出たａの範囲にも注意。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 21:01

>>692は計算してないから、できなかったらもう一度質問して。

**大学への名無しさん** · 02/12/06 21:04

690 さん本当にありがとうございました！！！！
(^_-)-☆

**馬鹿大学生** · 02/12/06 21:14

おもしろそうなスレだけど、勉強得意じゃないから参加できないな。
勉強しに行ってくる。

**こけこっこ** ◆ZFABCDEYl. · 02/12/06 21:15

>>688
(1)
与式⇔x^2+y^2-25+a(-4x-2y+20)=0
これが，任意の実数aで成立するので，
x^2+y^2=25かつ-4x-2y+20=0⇔(x，y)=(3，4)，(5，0)・・・答

(2)
(x-2a)^2+(y-a)^2=5a^2-20a+25・・・ア
アの右辺=5(a^2-4a+5)=5(a-2)^2+5＞0であるから，アはaの値によらず円を示す。
また，x^2+y^2-4ax-2ay+20a-25=0かつx^2+y^2=5　⇔　x^2+y^2=5かつ2ax+ay=10a-10・・・イ
a=0ならば，0x+0y=-10となるので不適。ゆえにa≠0．よって，イを満たす実数(x，y)
が2組存在する条件は円：x^2+y^2=5　と，直線：2ax+ay=10a-10が異なる2点で交わることであるから，
|10a-10|/√5*|a|＜√5かつa≠0　⇔　(a-2)(3a-2)＜0　⇔　2/3＜a＜2・・・答

(3)
2円の交点を通る直線は，2ax+ay=10a-10であり，これが(2，-2)を通るので，
a=5/4．これは2/3＜a＜2を満たす。
ゆえに求める直線は，2x+y=2・・・答

**大学への名無しさん** · 02/12/06 21:20

>>692
（３）はそれで答えが出ましたが、（２）はダメでした。

**おねがいします。** · 02/12/06 21:31

問．下記のA，Bについて答えよ。

　aを実数とし、2次方程式 x^2-2(a+1)x+4=0 を考える。
　この2次方程式が２つの虚数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。・・・・・A
　Aのとき、これらの虚数解の3乗がそれぞれ実数となるようなaの値を求めよ。・・・・・B

**大学への名無しさん** · 02/12/06 21:32

>>696
|10a-10|/√5*|a|＜√5

これはどこからでてきたのでしょうか？
それから答えは　2／3≦ａ2　となっているのですが・・・

**大学への名無しさん** · 02/12/06 21:33

>>699
訂正　2／3≦ａ2→2／3≦ａ≦2

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/06 21:45

>>698
1番は判別式で。
2番は、もとの式の２虚数解をα，βとすると、
α^3，β^3を解に持つ２次方程式が実数解をもてばよい。
解と係数の関係で↑の方程式をaで表してみよう。
答えはa=-2になると思う。

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/06 21:47

設問はABか。あと途中の計算は上手くやれば時間短縮。

**大学への名無しさん** · 02/12/06 22:04

>>619-620
>>624
>>627
いままではさみうちの『原理』しか見たことなかった。
参考までにどこで『定理』と習ったのか教えて欲しい。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 22:09

あれ？ダメな解き方してたのかな？

**大学への名無しさん** · 02/12/06 22:25

>>701
a=0もだね。

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/06 22:27

そうだ。a=0,-2だ。

**大学への名無しさん** · 02/12/06 22:29

初歩的な質問でスマソ。
原始関数ってなんですか？

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/06 22:32

不定積分の別名。

**大学への名無しさん** · 02/12/06 23:24

ｘ＾2+y＾2-5=2(ｘ-1)p+2(y-2)qが、
ただ一組の実数解を持つ条件を求めよ。
また、その時、x、yはいくらか?
ただし、p、q実数とする。

よろしくおねがいします。

ラン · 02/12/06 23:35

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**大学への名無しさん** · 02/12/06 23:40

↑
グラフを書いてみると、原点を中心とする半径5の円と
直線(点(1.2)必ず通る)となり、その2線がただ一つの解=接する条件だから、
・・・・・
P=1/2 Q=1の時(ｘ.y)=(1。2)でいいのでしょうか?

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 23:55

>>669
点と直線の距離の公式だと思う。ちなみに＜→≦だよ。

>>709
ｘ、ｙについて平方完成して、さらにｐ、ｑについて平方完成すると
ｐ＝１、ｑ＝２かな。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 23:57

間違えたっぽい・・・

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/06 23:58

やっぱ合ってるかな・・・

**大学への名無しさん** · 02/12/07 00:08

ありがとうございます。
その感じからすると私の最初のグラフ書くところまちがってますか?

**大学への名無しさん** · 02/12/07 00:16

二次方程式の解の符号の条件で、
「2解とも正」「2解とも負」のときは判別式の条件があるのに
「正負の解」のときは何故判別式の条件が不要なのでしょうか？

**大学への名無しさん** · 02/12/07 00:20

>>715

x^2+y^2-5=0
2(x-1)p+2(y-2)q=0

ここから出てくる条件はp:q=1:2
この連立方程式解は与式の解にはなっているけれど、与式の解はそれだけではない。
より一般的には、kを定数として
x^2+y^2-5=k
2(x-1)p+2(y-2)q=k
とでもしてやる必要があると思う。

それは面倒なので、>>712のように考えるのが良い。
>>712は、
「与式は円の方程式なので、これを満たす実数（x,y）がただ一つとなるためには、
　円の半径が０にならなければいけない」
という考え方。半径＞０の場合、円周上の点全てが解になってしまうので。

**717** · 02/12/07 00:22

>kを定数として
これは語弊があるかも。

**１対１家庭教師( ´Д｀)y-~~** ◆AIv67RAb4A · 02/12/07 00:23

>>715
半径√５の円だね。っていうか半径５の円だと接するの無理じゃない？

**大学への名無しさん** · 02/12/07 00:36

>>家庭教師さま
どうもありがとうございました。
確かに半径√5の円です。
それにしても感動しました。

**トゥリビア** ◆ILVJOGNc1. · 02/12/07 00:39

>>712は(1,2)における接線にすれば良いのでは。