面白いのでちと書いてみます。

半径rの円の円周をL(r),面積をS(r)とするとh>0のとき

h*L(r)≦S(r+h)-S(r)≦h*L(r+h)
L(r)≦(S(r+h)-S(r))/h≦L(r+h)

lim[h→0]L(r+h)=L(r)より
lim[h→0](S(r+h)-S(r))/h=L(r)

∴S'(r)=L(r)