今日付けの日日演の別解でぇす

【問題11/20】
(1)自然数ｎが2の累乗で無ければ：すなわちｎ＝2^m(2ｌ+1)、m≧0、≧1と表されるならば、ｎは２個以上の連続和で表されることを示せ。
(2)２の累乗であるとき、連続和では表せないことを示せ。(ｌ←エルが見えにくいけど勘弁)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2002上智大学理工(数学))

【解答】
(1)全ての奇数は、2k+1＝k+(k+1)によって表されるので、3以上の全ての素数はOK
　3以上の全ての合成数は、2の累乗で無ければ奇数を約数に持つが、例えば(n-1)+n+(n+1)＝3n　(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)＝5n　のように、
　全ての奇数の倍数は(n-i)+・・・+(n-1)+n+(n+1)+・・・(n-i)＝(2i+1)ｎよって表される。
　以上により題意は示された。

(2)連続する奇数個の自然数を足すと、↑の議論により奇数の倍数になるので、もし2^mが連続和で表されるなら偶数個の連続和であるが、
　Σ〔k=1〜2j〕(n+k)＝j(2n+2j+1)＝ｊ×奇数　となって矛盾。よって２の累乗は連続和では表されない。

　クレームお待ちしてます。