費用償還義務はあると思われ。
不法行為の準拠法は行為地法によるから、実名報道については日本法が適用される。
韓国の訴訟法や条約に詳しくないから韓国の裁判所の裁判権の有無はわからないけど、
被告が日本にいる限り、日本で裁判を起こさないと判決に執行力は認められない。