>>6
有限のリソース（文法や機械）から、無限の多様性（言語）を表現するわけだから、ある共通部分をポンプし続けて増やせるはずっていうのがpumping lemmaでそ。
その「数のギャップ」的な部分をpigeonhole principleで説明するのはよくある話なので、関係なくもないと思いますが。

ちなみに感銘を受ける証明ってどんなの？