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素直に連立方程式を解くべし
例えば(x1,y1),(x2,y2),qでpについて解けば、
(y1-y2) * p^2
 + 2 * ( x1*y2 - x2*y1 + (x2-x1)*q ) * p
 + x2^2 * y1 - x1^2 * y2 + (x1^2-x2^2) * q = 0
解の公式使って、x1<p<x2で無いほうを選べばイイ
合ってるかは知らん